Matematik Dersleri

Aşağıdaki adreslerden Bilal ÇAKIR hocamızın matematik derslerine ulaşabilirsiniz. (Ondalık sayılar, rasyonel sayılar, üslü sayılar, obeb-ekok problemleri gibi liselere yardımcı olacak birçok konu anlatımı ve soru çözümleri var.) Gerek liselerdeki matematik sınavlarında,  gerek YGS ve LYS sınavlarına hazırlık için bu derslerin çok faydalı olacağını düşünüyoruz. Derslerde iyi anlamadığınız konuları buradan izleyerek anlayabilirsiniz. Hocamıza dersler ve videolar için  teşekkür ederiz. Arkadaşlar size de şimdiden iyi çalışmalar.

https://www.youtube.com/c/bilalhoca

Ondalık Sayılar:

https://www.youtube.com/watch?v=4FtBI5PG5tY

30 dakikada rasyonel sayılar:

 https://www.youtube.com/watch?v=mwBU3ZUbQdQ

Üslü Sayılar:

https://www.youtube.com/watch?v=ne8C_sJx8XE


                                                                                                                                         12/02/2017
                                                                                                                      Matematik-Bilim Kulübü

Devamını Oku

Yargıda Matematik

Çok farkında olmayabiliriz ama matematiksel düşünmek hayatımızın hemen her alanında var. Üstelik  gerçek hayatla ilişkilendirilmiş ve doğru temele dayalı matematiksel düşünce çok önemli olabiliyor. Çünkü yüzeysel  bakışlar kendi içlerinde son derece tutarlı modellere bile dayansalar zaman zaman çok büyük yanlışlara yol açıyor. İnsanlar matematiği kullanırken bazen gerçek hayatta önemli unsurları göz ardı ediyorlar ve matematiği yanlış kullanıyorlar; bu da onların büyük hatalara düşmelerine neden oluyor. 

İngiliz avukat Sally Clark'ın yaşadıkları bu açıdan ibretlik ve onun yaşadıklarından ders alınacak çok şey var. Sally Clark 9 Kasım 1999 yılında 35 yaşında iken iki çocuğunu cinayetle öldürmekten tutuklandı. Sally Clark'ın ilk çocuğu Christopher 22 Eylül 1996 yılında doğmuştu. Sally doğumdan sonra birkaç ay çalışmayı bıraktı ve bu süre içinde evde kalarak çocuğuna baktı. Fakat Christopher doğduğundan beri oldukça kırılgan görünüyordu. Aralık ayının başlarında hastalandı, ilk anda rahatsızlığı basit bir soğuk algınlığı olarak görünüyordu. Doktor endişelenecek bir şey olmadığını söylemişti. Fakat 13 Aralık günü Christopher birden  fenalaştı ve hastaneye kaldırıldı. Ne yazık ki yapılan tüm müdahalelere rağmen kurtulamadı. Yapılan otopsi Christopher'in ciğerlerinde bir enfeksiyon  olduğunu tespit etmişti.

Christopher’ın ölümünden sonra Sally tekrar işine döndü, çalışmasında bir sorun olmasa da üzüntü ve depresyon içinde yaşamaktaydı.  Yeni çocuğu Harry 27 Kasım 1997 yılında dünyaya gelince Sally üzüntülerinden kurtulacak gibi görünüyordu. İngiltere’de bir çocuğunun ölümünden sonra doğan ikinci çocuğun sağlık gelişimi CONI denilen bir program adı altında dikkatli bir şekilde incelenir. Fakat Harry oldukça sağlıklı görünüyordu, hareketli ve enerji doluydu. Sally ilk çocuğunun ölümünden sonra çok daha dikkatli davranıyor adeta Harry’nin üzerinde titriyordu. Sally’nin kocası Steve de karısına ev işlerinde yardım ediyor, onun yükünü hafifletmeye çalışıyordu. 26 Ocak 1998’de Harry standart bir uygulama olarak aşılarını vurdurdu.

Aşıları vurulduktan bir süre sonra Harry’nin sağlığı giderek bozuldu. Hareketli Harry gitmiş yerine sessiz ve içine kapanık Harry gelmişti. Sally, Harry ile ilgilense, onunla oyun oynamak istese de Harry annesinin tüm bu çabalarına karşı da son derece ilgisizdi. Bir süre sonra Harry de aniden fenalaştı ve nefes alamamaya başladı. Sally tüm çabalarına rağmen çocuğunu iyileştiremeyince yardım için hastaneye başvurdu. Acil olarak hastaneye kaldırılan Harry de kurtulamadı. Patoloji uzmanı doktor Williams, çocuğun ölümü ile ilgili olarak boğulmaya bağlı cinayet şüphesi üzerinde durunca Sally Clark ile Steve Clark çocuklarını öldürme suçundan tutuklandılar.

Sally ve Steve şaşkınlık içindeydiler, çocukları Harry'nin gerçekte neden öldüğünü öğrenmek istiyorlar ama suçlamalardan da buna fırsat bulamıyorlardı. Suçlamalar Harry'nin gerçek ölüm nedeni veya nedenlerini örtecek duruma gelmişti. Suçlamalardan iyice bunalan Sally ve Steve sonunda bir cinayet avukatı olan Mike Mackey'i yardımına başvurdular. Bir süre sonra Steve suçlamalardan kurtuldu ama Sally için aynı durum geçerli değildi. Yetkililer Sally'yi suçlamaya devam ettiler. Bununla birlikte Sally mahkemede aklanacağını ve suçsuz bulunacağını düşünüyordu. 

Sallly'nin savunması mahkemede son derece başarılı avukatlarca yapıldı. Avukatlar doktorların çelişkilerini tek tek göstermişler, çocuğun  boğularak öldürüldüğüne dair elde sağlam bir delil olmadığını ortaya koymuşlardı. CONI programında çalışan sağlık uzmanları ve daha birçok kişi Sally'nin lehine tanıklar yapmıştı. Sally tüm bunlardan sonra davayı kazanacağını düşünüyordu. Ama ünlü doktor ve uzman Roy Meadow davanın seyrini bir anda değiştirdi. 

Roy Meadow, 1977 yılında "Munchausen syndrome" olarak bilinen bir rahatsızlığı isimlendirmiş, birçok ödül almış, bir yığın parlak başarısı olan ünlü bir doktordu.  1968 yılında Roy Meadow, İngiliz Pediatri Birliği'nin ünlü  Donald Paterson ödülünü aldı. 1998 yılında da çocuk sağlığına katkılarından dolayı Şövalye unvanı ile ödüllendirildi. Yine Row Meadow tıbbi olarak sebebi bilinmeyen birçok çocuk ölümünü açıklığa kavuşturmuş, bazı anne ve babalarının bu ölümlerde rolünü tespit etmiş, kimi anne ve babaların yetki ve görevlerini kötü yönde kullandıklarını dile getirmişti. Böylece Roy Meadow'un da katkılarıyla İngiltere'de birçok çocuk ölümü ve cinayeti aydınlığa kavuşturulmuştu. Tüm bunlardan dolayı Roy Meadow  toplumun ve birçok uzmanın güvenini kazanmış önemli biriydi. 

İşte tüm bu sebeplerden dolayı mahkeme Sally Clark davası ile ilgili olarak Roy Meadow'a başvurdu. Roy Meadow mahkemede oldukça etkileyici bir konuşma yaptı. Dinleyicileri ve jüriyi etkisi altına aldı. Konuşmayı dinleyen Sally Clark bile "Suçsuz olduğumu bilmeseydim, onu dinlediğim zaman suçlu olduğuma inanırdım."demişti. Roy Meadow mahkemedeki konuşmasına bu tür ölümlerle ilgili  olarak istatiksel çalışmalardan söz ederek başladı. Bu tür sebebi tam olarak anlaşılmayan bir yaşından küçük çocukların aniden ölmesine SIDS (sudden infant death syndrome)  ya da "crib death" veya "cot death" de deniliyordu. 

Meadow,  "İstatiksel çalışmalar Clark'ın statüsündeki ailelerde bu tür çocuk ölümlerinin olma olasılığının 8543'te 1 olduğunu göstermiştir." diyordu. Meadow'a göre bu tür iki olayın art art gerçekleşmesi  olasılığı 73 milyonda birdi. Meadow tüm bu istatiksellerin İngiliz Sağlık Bölümünün raporlarına dayandığını belirtiyordu.  Yine Meadow'a göre bu kadar düşük bir olasılığın gerçekleşmesi son derece düşüktü, yani Sally Clark'ın  bu cinayetleri işlemesi çok yüksek bir olasılıktı. Hâkim ve jüri, Roy Meadow'un mantığına ikna olmuş, Meadow'un çalışmalarını ve onun dayandığı istatistiği etraflıca soruşturma ve araştırma gereği duymamıştı. Juri 9 Kasım 1999'da  10'a karşı 2 çoğunlukla Sally Clark'ı  cinayetten suçlu buldu. Sally Clark cinayetten dolayı ömür boyu hapis cezası ile cezalandırıldı. 

Sally Clark bundan sonra hayatının üç yılını hapishanede geçirdi. Suçsuz olduğunu ispatlamak için büyük çaba harcadı. Sally Clark'ın Temyiz Mahkemesine  yaptığı ilk temyiz başvurusu 2 Aralık 2000 yılında reddedildi. Sally'nin kocası Steve de işin peşini bırakmadı ve davanın takipçisi oldu. Hatta kimi gönüllü insanlar da Sally'ye yardım etmeye başlamıştı. Bu gönüllerden biri avukattı ve Harry'nin hastanedeki ölüm kayıtlarına ulaşmayı başardı. Kayıtlarda Harry'nin vücudunda  ölümcü bir bakteri olan Staphylococcus aureus'un sekiz tür kolonisi vardı. Ve anlaşıldı ki Harry ölmeden önce ciddi bir bakteri enfeksiyonuna yakalanmıştı.  Bu verileri değerlendiren bağımsız uzmanlar da  Harry'nin büyük olasılıkla bakteri enfeksiyonundan doğal yollarla öldüğü sonucuna vardı. Tüm bu yeni bilgilerle Sally Clark, Ocak 2003'te Temyiz Mahkemesine tekrar başvurdu. Bu defa Sally Clark'ın temyizi kabul edildi ve Sally serbest bırakıldı. 

Bu arada Roy Meadow'un argümanı aslında oldukça yanlış bir temele dayanmakta idi.  Meadow'un ilk yanlışı olayların bağımsız olmasını düşünmesi idi. Örneğin bir paranın atılması deneyinde paranın  gelmesi veya bir zarın atılması deneyinde zarın art arda aynı sayı gelmesi gibi olaylar bağımsız olaylar olarak düşünülebilir. SIDS (sebebi tam olarak anlaşılmayan bir yaşından küçük çocukların aniden ölmesi) olaylarının ise bağımsız olaylar olduğu söylenemez.  Yani SIDS olayları birbirinden bağımsız olaylar değildir. Çünkü SIDS olayları her şeyden önce rastgele değildir. Belki de SIDS'ye yol açan doktorların bilmediği  bir takım etkenler vardır, örneğin bunlar belli ailelerdeki bir takım genetik  veya bilinmeyen başka nedenlerden kaynaklanabilir.

Meadow'un ikinci hatası ise "prosecutor’s fallacy" olarak bilinen bir hata türü idi.

Diyelim ki İstanbul'da bir dükkan gündüz vakti soyulsun. Görgü tanıklarının ifadesine göre soyguncu 30 ile 40 yaşları arasında, erkek, kızıl sakallı ve soyguncunun üzerinde de siyah deri bir mont olsun. Ve  soyguncu olay yerinden motosiklet ile uzaklaşsın. Yapılan hesaplamalara göre bunların toplumda olma olasılıkları da şu şekilde olsun:

30 ile 40 yaşları arasında olma olasılığı: 0,22

Erkek olma olasılığı: 0,58

Kızıl sakallı olma olasılığı: 0,027

Üzerinde siyah deri montu giyme olasılığı: 0,0325

Motosiklet olma olasılığı: 0,018

Tüm bu olaylar bağımsız olarak düşünülürse hepsinin birden aynı anda olma olasılığı: 0,58x0,018x0,22x0,027x0,042 çarpımları yaklaşık olarak 0,000002 olarak alınabilir. Görüldüğü gibi tüm bu özelliklerin hepsini birden taşıyan birinin olma olasılığı yaklaşık olarak milyonda ikidir ve bu olasılığın oldukça düşük olduğunu kabul edebiliriz.

Ve yukarıda sayılan tüm bu özellikleri taşıyan birinin yakalandığını düşünelim. Bu durumda bu özelliklerin hepsini birden birinin taşıma olasılığı çok düşük olacağından yakalanan kişinin doğru yani dükkanı soyan kişi olduğu düşünülebilir. İşte olayın bu şekilde düşülmesi, yani düşük bir olasılıktan yola çıkarak, suçlu kişiye ulaşılması ve diğer faktörlerin yok sayılması  hatası "prosecutor’s fallacy" olarak bilinir. İstanbul'un nüfusunu 14 milyon olarak alalım. Olayın olma olasılığı 2 milyonda bir bile olsa, İstanbul'da bu özellikleri taşıyan 28 kişi olması beklenir. Bu durumda yakalanan kişinin doğru yani dükkanı soyan kişi olması olasılığı 28'de birdir.

Sally Clark olayında ise "prosecutor’s fallacy” yi açıklayalım. Roy Meadow 
bu tür çocuk ölümlerinin olma olasılığının 73 milyonda bir olduğunu söylemişti. Fakat buradaki sorun çocuk ölümlerinin nedenlerini, nasıl gerçekleştiğini gerçekleştiğini bilmememiz. Pekala bu olayın  alternatif bir açıklamasının Vincent Scheureri'in önerdiği gibi (5) şu şekilde olduğunu düşünebiliriz:

Bu tür çocuk ölümlerinin 1/3’ünün nadir ama doğal bilinen nedenlerden kaynaklanması. Ve bu nedenlerin uzmanların ve doktorların gözünden kaçması.

Bu tür çocuk ölümlerinin 1/3’ünün anne ve babanın görev ve yetkilerini kasıtlı olarak kötü bir şekilde kullanmaktan kaynaklanması.

Bu tür  çocuk ölümlerinin 1/3’ünün de sebebi bilinmeyen ve anlaşılmamış olaylardan kaynaklanması.

Kuşkusuz yukarıda olasılıkların gerçekte ne olduğunu bilmiyoruz, "Sally Clark olayında prosecutor’s fallacy" nin ne olduğunu açıklamak için böyle bir varsayım üzerinden gidilmiştir. Bununla birlikte doktorların ve uzmanların bilgilerinde  bir takım eksiklikler olabileceği ve bunun görmezden gelinemeyeceğini, yani bu olasılığın yok sayılamayacağını da düşünmek gerekir.  Nitekim Sally Clark vakasında bu olasılığın göz ardı edilmesinden dolayı ciddi bir hata oluşmuştur. Diğer yandan tam olarak nedenini bilmediğimiz ve açıklayamadığımız (genler, çevre vb. bir yığın etkileşim) olayların olasılığını yok saymak için ne gibi bir gerekçemiz olabilir?

Yukarıdaki varsayımsal modeli doğru kabul edersek Sally Clark’ın bu cinayeti işlememe olasılığı çok düşük bir olasılık değil 2/3 olur. 

  
Meadow’un üçüncü hatası ise “ecological fallacy” denilen hata grubuna giriyordu. Meadow, Clark’ın statüsündeki ailelerde bu tür olayların gerçekleşme olasılığının 8543’te 1 olduğunu söylemişti. Clark’ın statüsündeki aileler derken sigara içmeyen, işsiz olmayan ve annenin 26 yaşının altında olmadığı aileler kast edilmişti. Ama bu şekilde oluşan grubun da türdeş olduğu iddia edilemez. Bu şekildeki grubların türdeş ve eşit dağılımda olduğunu hatası  ecological fallacy olarak  nitelendirilir. Meadow da farkında olmadan bu hataya düşmüş, Clark’ın statüsündeki ailelerin türdeş olduğunu varsaymıştı. 

Olaylar iyi anlaşılmadan yapılan analizler bizi yanlış yere götürebilir. Diyelim çok işlek bir yolda bir takım çalışma ve düzenleme yapanlar yoldaki tüm güvenlik işaretlerini devre dışı bırakıp, kimsenin kolay kolay göremeyeceği büyük bir çukur oluştursun. Bir süre sonra bir yığın aracın bu çukura düştüğünü, zincirleme kaza sırasında bir sürü insanın öldüğünü düşünelim. "Bu olayın olma olasılığı çok düşüktür, çukurların hiçbir önemi yoktur, işaretlerin de, yolun da önemi yoktur, araç sahipleri dikkatli olsalardı böyle bir kaza olmazdı,  zincirleme kaza bile olsa, örneğin siz oldukça yavaş giderken birden bire bir araç üstünüze saatte 200 km hızla bile gelse her şey size bağlı, bakın niye benim başıma böyle bir olay gelmiyor, yıllardır araba kullanıyorum, böyle bir kaza yapmadım." diyerek yoldaki bozuk ve işaretsiz yapıyı, yetersiz güvenlik önlemlerini, kazada diğer araçların rolünü görmek istemeyenler  de çıkacaktır. Bu şekilde davrananlar tüm olayları türdeş veya kendi yaşadıkları gibi olduğunu düşünür. 

"Biliyor musunuz, bu akşam akıl almaz bir şey geldi başıma, plakası ARW 357 olan bir araba gördüm. Düşünebiliyor musunuz? Bu akşam eyaletteki onca plaka arasından o müstesna plakayı görme olasılığım ne kadardı acaba? İnanılır gibi değil doğrusu!"Richard Feynman

Veya Richard Feymann'ın dediği gibi diyelim trafikte bir plaka gördüm ve olasılık olarak ildeki onca plaka arasından böyle bir plakayı görmememin ne kadar  olduğunu hesapladım: Oldukça düşük bir rakam çıktı. Buradan, bunun olma olasılığı çok düşük, böyle bir rakamı görmüş olamam dememin çok bir anlamı yoktur, çünkü zaten olay gerçekleşmiştir. Bu açıdan değerlendirilecek olursa insanların yaşadıkları bazı olaylar birçok açıdan emsalsizdir; yani aslında olaylar birebir aynı ve türdeş değillerdir. 

"Her şeyi elden geldiğince basitleştirin ama daha fazla değil." Albert Einstein

Sonunda Sally Clark suçsuz bulundu ve doğru galip geldi. Ama bu süre içinde Sally Clark çok yıpranmıştı, bu olayların etkisinden, çocuklarının ölümünden, üstelik onların ölümü yüzünden suçlanmaktan ve haksız yere cezalandırmaktan dolayı çok sarsılmıştı. Daha sonra alkol bağımlısı oldu ve bir süre sonra da, 2007 yılında  42 yaşında öldü.

İngiltere'deki hâkim ve savcılar, jüri Roy Meadow'un hatasını fark etseydiler,  Sally Clark haksız yere hapishanede yatmayacak, belki de bu kadar acı çekmeyecekti. Böylece Sally Clark olayı bize matematiksel bilgilerin  hayatımızda, örneğin yargıda bile, ne kadar elzem olduğunu bir kez daha göstermiş oldu. Etkili bir matematik bilgisi  büyük olasılıkla bizi daha doğru sonuca götüreceği gibi, yanlış suçlamalara karşı da koruyacaktır. 

                                                                                                11/02/2017
                                                                                             Levent ÖZBEK



Kaynaklar:

1. Leila Schneps, Coralie Colmez, “Math on Trial”,2013

2. Thair Shaikh, “Sally Clark, mother wrongly convicted of killing her sons, found dead at home”, The Guardian, 17 Mart 2007
   https://www.theguardian.com/society/2007/mar/17/childrensservices.uknews

3. Clare Dyer,” Pathologist who could have cleared mother wins appeal”, The Guardian, 6 Eylül 2007
    https://www.theguardian.com/society/2007/sep/06/childrensservices.health

4. Jonathan Gornall, “A tragedy of errors”, The Guardian, 17 Eylül 2007
    https://www.theguardian.com/commentisfree/2007/sep/17/atragedyoferrors

5. Vincent Scheureri, ", Convicted on Statistics?"
    https://understandinguncertainty.org/node/545

Devamını Oku

Okul Müdürümüzle Röportaj

Okul Müdürümüz ile Röportaj

Matematik Bilim Kulübü olarak okulumuz Tavşanlı Atatürk Anadolu Lisesi Müdürü Göksel UYSAL ile bir röportaj yaptık. Aşağıda yapmış olduğumuz röportajı yayınlıyoruz.

Matematik Kulübü: Müdür Bey öncelikle bize böyle bir fırsatı verdiğiniz için size çok teşekkür ederiz. Matematik ve bilim kulübü olarak size bazı sorularımız olacaktır. Bilim önemli midir sizce, neden? 

Göksel UYSAL: Önemlidir. Bilim insanın yaşamını kolaylaştırır.

Matematik Kulübü:Bilimsel düşünmek deyince ne anlıyorsunuz?

Göksel UYSAL:Bilimsel düşünmek deyince mevcut maddelere ve bilgiyi kullanarak yeni bilgi ve buluş ortaya çıkarmayı anlıyorum.

Matematik Kulübü:Matematik ve bilime karşı ilginiz var mı?

Göksel UYSAL: Vardır. Özellikle problem çözme konusunda bir ilgim vardır. 

Matematik Kulübü:Matematik ve bilimi diğer konulardan ayıran en önemli özellik nedir?

Göksel UYSAL:Sembol ve şekiller kullanılır. Uygulama alanı geniş soyut ve kesin sonuçların esasına dayanır.

Matematik Kulübü:Bilim ve matematik arasında ne gibi ilişki vardır?

Göksel UYSAL: Matematik diğer müspet bilimlerin gelişimine her daim öncelik eder.

Matematik Kulübü: Sizce bugün bilimde en önemli konular nedir?

Göksel UYSAL:Gen yazılımların değiştirilmesi mükemmel, insan tasarımı, yapay kan üretimi.

Matematik Kulübü:Bilime ilgi duyan öğrencilere ne tavsiye edersiniz?

Göksel UYSAL: Bilime ilgi duyan öğrenciler araştırıp sorgulamalı ve teknolojiyi iyi kullanmalıdır.

Matematik Kulübü: Sizce gelecekte fizik mi yoksa biyoloji mi önem kazanacak? 

Göksel UYSAL: Fizik teknolojiyi geliştireceğinden bir adım öndedir.

Matematik Kulübü:Teknolojinin gelişmesi bilimi nasıl etkiler?

Göksel UYSAL:Teknoloji bilime paralel olarak gelişir. Varlığı bilim sayesindedir. Buna karşılık teknoloji arttıkça bilgi düzeyi artacaktır. Bilgiye ve bilime ulaşım kolaylaşacaktır.

Matematik Kulübü:Öğrenciler bilimsel düşünebilmek için neler yapmalıdır?

Göksel UYSAL:Yaparak, yaşayarak, öğretmenini anlayarak akıl ve mantık yürütme tüm derslerde izlenmelidir.

Matematik Kulübü:Sizce bilimdeki en önemli keşif veya buluşlar nelerdir?

Göksel UYSAL:Geçmişte; yazının, takvimin, pusulanın, matbaanın bulunuşu, günümüzde ise internetin bulunuşudur. 

Matematik Kulübü:En sevdiğiniz popüler bilim kitaplarından üç tanesini yazar mısınız?

Göksel UYSAL:Şimdilik iki kitap önerebilirim: İlki Richard Dawkins'in "Ataların Hikayesi" isimli kitabı, ikincisi de Stephen Hawking'in  "Her Seyin Teorisi" isimli kitabı. 

Göksel Uysal:Matematik diğer müspet bilimlerin gelişimine her daim öncelik eder.Yaparak, yaşayarak, öğretmenini anlayarak akıl ve mantık yürütme tüm derslerde izlenmelidir.Bilime ilgi duyan öğrenciler araştırıp sorgulamalı ve teknolojiyi iyi kullanmalıdır.

Matematik Kulübü:Belgeseller hakkında ne düşünüyorsunuz, bilimle ilgili en sevdiğiniz belgeseller hangileri?

Göksel UYSAL:Belgeseller tarihle hesaplaşıp geleceği görmemiz için yaşam deneyimimizi çoğaltmak için dünyadaki başka varlıkları tanımak için önemlidir. Ben canlılarla ilgili belgeseller izliyorum.

Matematik Kulübü:Bildiğimiz kadarıyla sizin branşınız biyolojiydi. Siz biyoloji hakkında ne düşünüyorsunuz?

Göksel UYSAL:Biyoloji canlıları inceleyen bilim dalıdır. Yeryüzünde yaklaşık 8 milyon canlı türü olduğu tahmin edilmektedir. Bunların ¼ ü sınıflandırılmıştır. Hayat var olduğu sürece biyoloji bilimi daha da ilerleyecektir.

Matematik Kulübü: Röportaj için çok teşekkür ederiz.

Göksel UYSAL: Ben de teşekkür ederim. İyi çalışmalar. 

                                                                                                10/02/2017

Devamını Oku

Doğadaki Çözümler ve Matematik

Doğadaki Çözümler ve Matematik

Sürekli sorulur: Matematik ne işe yarar? Doğada matematik var mı? Niçin karmaşık problemleri çözmek için uğraşıyoruz? Bu soruların birden fazla yanıtı olabilir. Ama bu sorunun en önemli yanıtlarından biri de şu: Doğada canlılar sürekli olarak mücadele içindedir. Ve bu mücadele etkili çözümler geliştirenler daha başarılı olur,  hayatta karşılaştıkları zorlu problemlere daha etkili çözüm yolları bulur, düşmanları veya rakipleri ile daha başarılı bir şekilde mücadele eder. Tabii etkili çözümler geliştirmenin, düşmanlarla etkili şekilde mücadele etmenin yolu da matematik ve bilimden geçiyor. Çünkü matematik ve bilim bir anlamda bizi daha doğruya, daha etkili çözümlere bulmaya götüren bir araç olarak düşünülebilir. 

Doğadaki canlıları incelediğimiz zaman bu canlıların şaşırtıcı derecede karmaşık matematik problemlerini çözebilme yeteneğine sahip olduklarını görüyoruz. Örneğin yakın zamanda ünlü bir bilimsel dergide yayınlanan makaleye göre bakteriler ünlü Hamilton yolu problemini çözebilecek potansiyele sahip. Başka bir çalışmaya göre bakteriler başka ünlü bir problem olan Burnt pancake problemini de çözebilecek yeteneğe sahip. (1)

Bir süre önce Kanada’nın McGill Üniversitesi Biyomühendislik Bölümü’nden bilim insanları  10 yıllık bir çalışma sonucu dünyanın ilk biyolojik süper bilgisayarını  üretmişti. Üstelik bu bilgisayarlar enerji tüketimi açısından da çok daha ekonomik. (2) Az enerji tükettikleri için daha az ısınıyorlar.  Çok daha az yer kaplıyorlar. Tüm bu açılardan bu bilgisayarların çevreyle daha barışık ve uyumlu oldukları söylenebilir. Biyolojik bilgisayarlarının çalışma stratejileri kuantum bilgisayarlarına benziyor.

Birçoğumuz bakteriler ve diğer mikroorganizmaların yaşamımızda ve dünya ekosisteminde çok önemli canlılar olduğunu görmezden gelebilir veya bu canlıların yeteneklerini küçümseyebilir. Eğer zeka değişen çevre koşullarına ayak uydurmak ve düşmanlarla etkili bir şekilde mücadele etmek olarak düşünülürse bakteriler  ve mikroorganizmalar ekosistem içinde en zeki ve değişime en hızlı şekilde ayak uydurabilen canlılar arasında düşünülebilir. Örneğin öteden beri mikroorganizmaları gıda üretiminde  kullanmaktayız. Son zamanlarda bakteriler birçok alanda daha fazla kullanılır oldu. Bakteriler birçok molekülü üretmemize yardımcı olabilir. Örneğin bakterilerin  yardımıyla kanımızda önemli bir molekül olan hemoglobini üretebilir ve bu ürünleri acil durumlar içinde kullanabiliriz. Şaşırtıcı olanı ise bakterilerin birçok değişik molekülleri üretmede gösterdikleri beceri. Bir süre önce mısır şekerinden plastik üretebilen bakteriler bile geliştirildi.(3) 

Bu yeni plastiğin ve teknolojinin çevreye ne gibi etkiler oluşturacağı henüz bilinmiyor. Bu yeni teknolojilerin beraberinde  çok daha büyük  yeni sorunlar ve kirlilik getireceği söylenebilir. Evet bu doğru olabilir,  ama iyimser olmaktan ziyade bakterileri anlamaya çalışıyorum. Ve biz bakterileri anlarsak, onlardan doğru bir şekilde yararlanırsak bazı sorunlara çözümler bulabiliriz. Yani sorun sadece yeni teknolojiler geliştirmek değil doğru ve çevreye zarar vermeyen teknolojiler geliştirmek de çok önemli. Yine  son zamanlarda kirlenmiş suları temizlemek için bakterilerin yardımına başvuruluyor. Bu yeni teknolojilerle birlikte atık sular temizlendiği gibi enerji de üretilebiliyor.  

Bakteri ve mikroorganizmalar bize çok yardımcı olabileceği gibi zaman zaman bize büyük sorunlar da oluşturabilir. Örneğin yeni geliştirilen veya yeni mutasyonlarla ortaya çıkan  bakteriler hiç öngörülemeyen yeni hastalıkların ortaya çıkmasına neden olabilir. Son yapılan araştırmalar bakterilerin kendi aralarında iletişim kurabildiklerini gösteriyor.

Buraya geldiğimizde, bakterilerin bu kimyasal dil yardımıyla birbirleriyle konuşabildiğini öğrenmeye başladık. Ancak bu noktada aklımıza gelen şey, belki de bu durumu lehimize kullanabilecek olmamızdı. Bakterilerin tüm bu sosyal davranışlara sahip olduğunu ve bu moleküller yardımıyla iletişim kurduğunu anlattım. Bakterilerin yaptığını önemli işlerden birisinin de çoğunluk algılamayı kullanarak zehir salgılamaya başlamaları olduğunu da anlatmıştım. Düşündük ki, bu bakterileri sağır ve dilsiz hale getirirsek ne olur? Bu, yeni bir çeşit antibiyotik olamaz mı?

Bugünün konuşması için önemli olan şey, bakterilerin bu tarz kollektif şekillerde gerçekleştirdiği yüzlerce davranışın mevcut olması. Ama belki de sizin için en önemli olanı virulans, yani zehirlilik. Birkaç tane bakterinin vücudunuza girmesi ve bazı toksinler üretmesiyle olacak bir şey değil bu. Çok büyüksünüz, bunun sizin üzerinizde hiçbir etkisi olmaz. Anlıyoruz ki bakterilerin yaptığı şey, vücudunuza girmek, beklemek ve büyümek. Daha sonra bu küçük moleküller yardımıyla kendi sayılarını ölçüyorlar ve yeterli sayıya ulaştıklarını anladıkları zaman, hep beraber zehir salgılamaya başlıyorlar ve böylece oldukça büyük bir konağın bile üstesinden gelebiliyorlar. Bakteriler, hastalık yapma yetilerini daima çoğunluk algılama(quorum sensing) yöntemi ile kontrol ediyor. Bu mekanizmanın işleyiş şekli böyle. (4)

Bakterilerin kullandıkları iletişimi anlamadan belki de onların neden oldukları birçok hastalığın çaresini asla bulamayacağız. Kuşkusuz doğadan öğreneceğimiz çok şey var. Ve bakterilerin gücü ve yeteneklerine hayranlık duymamak elde değil ama üstün becerilere sahip olanlar sadece mikroorganizmalar değil. Bitkiler dahil birçok canlı karşılaştığımız problemlerde yeni çözümler üretmemizde, yeni stratejiler geliştirmemizde yardımcı olabilir. Kansere karşı etkili çözümler bulmak için epey uğraş veren David Servan Schreiber şöyle diyor:

"Diyetimizdeki belli yiyecekler tümörler için gübre işlevi görürken, bazıları da tam tersine içlerinde değerli antikanser moleküller barındırır. Son buluşların gösterdiği gibi, bunlar alışıldık vitaminler, mineraller ve antioksidanlardan ibaret değildir.

Doğada, sebzeler saldırı karşısında ne savaşabilir ne de kaçabilirler. Hayatta kalabilmek için kendilerini bakterilere, böceklere ve kötü havaya karşı koruyabilecek güçlü moleküllerle donanmış olmaları gerekir. Bu moleküller, potansiyel saldırganların biyolojik mekanizmaları üzerinde etkili olan, mikroplara, mantarlara ve böceklere karşı koyma özelliklerine sahip fito-kimyasal bileşenlerdir. Bitkinin hücrelerini nemden, güneş ışınlarından koruyan antioksidan özelliklere de sahiptirler. (antioksidanlar, hücrenin narin mekanizmalarını oksijenin aşındırıcı etkilerine maruz kaldığında, hücresel 'paslanma'yı engeller." (5)

Janine Benyus "Biomimicry: Innovation Inspired by Nature" isimli kitabında doğadan esinlenerek yapılan başarılı icatlar ve çalışmalardan söz ediyor. Örneğin hızlı trenlerin tünelden çıkarken oluşturdukları ses problemini çözmek isteyen J.R.West isimli mühendis yalıçapkını kuşundan esinlenerek bir çözüm geliştirmişti. Yalıçapkını bir yoğun ortamdan, havadan, başka bir yoğun ortama geçerken hiç su sıçratmadan balıkları görebiliyordu. Kuşun bu çözümünü model olarak kullanan West böylece trenin çok daha az ses çıkarmasını sağlarken, bulduğu çözümle trenin yüzde 15 daha az elektrikle çalışmasını ve yüzde 10 daha hızlı olmasını da sağladı. (6,7)

Arılar da  birbirlerine çiçeklerin nerede olduğunu, ne kadar uzakta olduğunu bildirmek için  bir takım dans örüntüleri ve bununla ilgili matematiği kullanırlar. Arılar dans örüntüleri yardımıyla kendileri için uygun olan çiçeklerin Güneş'e göre açısal konumunu birbirlerine bildirebilirler. Bu dans örüntüsündeki arının  sallanım süresi de uzaklığın ne kadar olduğu konusunda bilgi verir. (8)

Bilgileri analiz etmek için modern matematikteki Fourier  Dönüşümleri çok etkili bir araç. Biyoloji ve biofizik uzmanı Peter Moore gözümüzün Fourier Döşümlerini kullandığını söylüyor. Tüm bunlara rağmen duyu organları ile elde ettiğimiz bilgiler yanıltıcı olabiliyor. Yani doğadaki çözümler kusursuz değil. Çözümleri daha etkili kılmak ve doğruya ulaşmak için zaman zaman matematiğe ihtiyaç duyuyoruz. Örneğin Ay ve Güneş'e bakalım. Salt duyu organlarına dayanarak Ay ve Güneş'in büyüklüğü hakkında yanıltıcı bilgilere ulaşabiliriz. Yine salt duyu organlarımıza dayanarak Dünya'nın yarıçapının ne kadar olduğunu, Güneş'in yarıçapının Dünya'nın yarıçapının kaç katı olduğunu bilemeyebiliriz ya da yanıltıcı bilgilere ulaşabiliriz. MÖ  310-230 yılları arasında yaşayan matematikçi Aristarchus matematiksel yöntemler kullanarak Güneş, Dünya ve Ay'ın birbirlerine olan uzaklıklarını göreceli olarak hesaplamıştı. Aristarchus aynı zamanda Güneş'in yarıçapının Dünya'nın yarıçapının kaç katı olduğunu tespit edebilmişti. Yine  Aristarchus Güneş merkezli evren modelini Kepler, Kopernik ve Galileo'dan binlerce yıl önce ortaya koymuştu. 

Aşağıdaki videoda Aristarchus'un açtığı yolda ilerleyen Eratosthenes'ın Dünya'nın çevresini temel matematiksel bilgileri kullanarak binlerce yıl önce nasıl hesapladığını anlatıyor:

Evet bazen matematik problemlerinin çözümü için doğadan, bir takım oyunlardan esinlenerek çözümler ve modellemeler, düşünceler geliştiriyoruz. Örneğin satrançtaki at problemini el alalım. Bu probleme göre at satranç tahtasındaki her kareye bir kere gelecek ve aynı kareye ikinci kez gelmeyecek. Bu şekilde atın satranç tahtasında ne şekilde hareket etmesi gerektiği sorunu matematikçileri  epey meşgul etmişti.

Problem oldukça kolay gibi görünür ama bu problem için 8x8'lik bir satranç tahtasında yaklaşık olarak  4×10⁵¹ kadar hesap edilmesi gereken olasılık vardır. Bunun yanında problemin çok değişik şekilleri de mevcuttur. Örneğin atın hareketini 8x8'lik bir satranç tahtasında düşündüğümüz gibi 5x5'lik satranç tahtasında da düşünebilir ya da nxn'lik satranç tahtasındaki genel çözümler üzerinde kafa yorabiliriz. 

Bu problemin birçok değişik çözümü var. Ama yapay sinir ağları (neural newtwork) ile ortaya konulan çözüm birçok açıdan kayda değer. Yapay sinir ağları beynin çalışma ilkelerini taklit ederek sorunlara çözümler getirmeye çalışan hesaplama yöntemidir. İşte bu yöntem kullanarak son zamanlarda at problemine güzel bir çözüm ortaya konuldu. Jeff Hawkins 'On Intelligence' isimli kitabında insan beyninin en önemli işlevlerinden birinin örüntü bulmak olduğunu söylüyor. Matematik örüntüleri inceleyen bilim dalı olarak düşünülürse beynimiz ile matematik arasındaki açık ilişkiyi anlamamız mümkündür.

      

                                                                                    07/02/2017

                                                                                   Levent Özbek

Kaynaklar:

1.Jacop Aron, "Bacteria make computers look like pocket calculators", The Guardian, 24 Temmuz 2009

https://www.theguardian.com/science/blog/2009/jul/24/bacteria-computer

2. Dünyanın ilk 'biyolojik' süperbilgisayarı, 5 Mart 2016

https://www.dunyahalleri.com/dunyanin-ilk-biyolojik-superbilgisayari/

3. David Biello, “Turning Bacteria into Plastic Factories”,  Scientific American, 16 Eylül 2008

https://www.scientificamerican.com/article/turning-bacteria-into-plastic-factories-replacing-fossil-fuels/

4. Bonnie Bassler, “How bacteria  talk”,  TED Talk, (Çeviri : Mithat Can Ayok),  Şubat 2009

5. David Servan Schreiber, "anti kanser, yeni bir yaşam tarzı", (Çeviri: Filiz Nayır Deniztekin, Varlık Yayınları), 2008, s. 145

6. Janine Benyus "Biomimicry: Innovation Inspired by Nature", 2002

7. Janine Benyus: “Biomimicry in action”, TED Talk, (Çeviri: Some Anon), Temmuz 2009

8. Thomas D. Seeley, "Honeybee Democracy", 2010

9. Blakeslee Sandra, Hawkins Jeff, "On Intelligence", 2004

10. Keith Devlin, The Math Gene, 1999

Devamını Oku